正方形綜合練習2023年九年級數學中考復習.docx

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1、正方形綜合 2023九年級數學中考復習1（2021春香坊區校級期中）已知為正方形的對角線，點為正方形外一點，連接，若，與交于點，與、分別交于點、（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，求證：；（3）如圖3，連接，若，求的長2（2022秋樂東縣期末）如圖1，在正方形中，點是射線上一點，連接，（1）當點是邊的中點時，求證：；（2）如圖2，點，分別是，的中點，依次連接，請判斷四邊形的形狀，并說明理由；若點是的中點，連接，當的面積為時，求的長3（2022秋衛輝市期末）【觀察猜想】（1）我們知道，正方形的四條邊都相等，四個角都為直角如圖1，在正方形中，點，分別在邊，上，連接，并延長到點，使，連接若，則，之間

2、的數量關系為；【類比探究】（2）如圖2，當點在線段的延長線上，且時，試探究，之間的數量關系，并說明理由；【拓展應用】（3）如圖3，在中，在上，若的面積為12，請直接寫出的面積4（2022秋大東區期末）如圖1，已知正方形的邊在正方形的邊上，連接，（1）求證：；（2）將正方形繞點按逆時針方向旋轉，使邊經過點，如圖2，連接和，寫出與的位置關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接，若正方形的邊長為5，正方形的邊長為4，直接寫出的值5（2022秋海門市期末）如圖，矩形ABCD中，AB4，BCa（a4），點E在邊BC上，在AB同側以AE為邊作正方形AEFG，直線FG交直線AD于點H（1）如圖，若點F

3、是CD的中點，求a的值；（2）如圖，若點F在矩形ABCD內，且GH：FH3：1，求BE的長；（3）連接DF，若a8，DF2，直接寫出GH：FH的值6（2021春興寧區校級期中）點為正方形邊上的一點，點為延長線一點，連接，過點作，且，連接（1）如圖，求證：；（2）如圖，過點作交于點，連接，求證：；（3）如圖，連接、，若交于點，求的長7（2021春平山縣期中）如圖，正方形的邊、在坐標軸上，點坐標為，將正方形繞點逆時針旋轉角度一個銳角度數，得到正方形，交線段與點，的延長線交線段于點，連、（1）求證：；（2）認真探究，求出的度數；猜想、之間的數量關系，并寫出理由（3）連接、得到四邊形，在旋轉過程中四邊

4、形能否為矩形？如果能，請求出點的坐標；如果不能，請說明理由8（2023昆明一模）已知四邊形是正方形（1）如圖1所示，點是正方形對角線的交點，連接，若，求的長（2）如圖2所示，當點是上一點，連接，點是的中點，連接，求證：9（2022秋南川區期末）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E為線段BO上一點，連接CE，將CE繞點C順時針旋轉90得到CF，連接EF交CD于點G（1）若AB8，BE2，求CEF的面積（2）如圖2，線段FE的延長線交AB于點H，過點F作FMCD于點M，求證：BH+MGBE；（3）如圖3，點E為射線OD上一點，線段FE的延長線交直線CD于點G，交直線AB于點

5、H，過點F作FM垂直直線CD于點M，請直接寫出線段BH、MG、BE的數量關系10（2022杭州模擬）如圖所示，在平面直角坐標系中，正方形的點、分別在軸和軸的正半軸上，點在第一象限，平分交于（1）求的度數和的長；（2）點不動，將正方形繞點逆時針旋轉至圖2的位置，交于點，連接求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，正方形的邊交軸于點、平分，、是、上的動點，請直接寫出的最小值答案版：1【解答】（1）證明：如圖1，作于點，交的延長線于點，四邊形是矩形，四邊形是正方形，在和中，四邊形是正方形，（2）證明：如圖1，四邊形是正方形，（3）解：如圖2，連接，作于點，于點，作于點，則，的長是2【解答】（1）證明

6、：如圖1，四邊形是正方形，點是邊的中點，在和中，（2）解：四邊形是平行四邊形，理由如下，如圖2，點在邊上，如圖3，點在邊的延長線上，連接，點，分別是，的中點，四邊形是平行四邊形如圖2、圖3，作于點，連接，點是的中點，當點在邊上，如圖2，則；當點在邊的延長線上，如圖3，則，綜上所述，的長為3或53【解答】解：【觀察猜想】（1）四邊形為正方形，四邊形為正方形，在和中，故答案為：；【類比探究】（2），理由如下：如圖2，在上截取，連接四邊形為正方形，四邊形為正方形，在和中，；【拓展應用】（3）如圖3，將繞點逆時針旋轉得到，連接，此時與重合，在中，由旋轉得，是直角三角形，的面積為12，4.【解答】（1）

7、證明：如圖1，四邊形和四邊形是正方形，；（2）解：，理由如下：如圖，延長，交于點，四邊形和四邊形是正方形，；（3）解：連接，正方形的邊長為5，正方形的邊長為4，5【解答】解：（1）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB4，BC90，CDAB4，點F是CD的中點，CFCD2，四邊形AEFG是正方形，AEF90，AEEF，AEB+CEFAEB+BAE90，BAECEF，ABEECF（AAS），ABEC4，BECF2，BCBE+EC6，即a的值為6；（2）如圖，過點F作FMAD于M，交BC于K，過點G作GNAD于N，EKFANGB90，四邊形ABCD是矩形，AB4，BBAD90，四邊形ABKM是矩形，KM

8、AB4，四邊形AEFG是正方形，EAGAEFAGF90，AGAEEF，GAN+DAEBAE+DAE90，AEB+CEFAEB+BAE90，BAECEFGAN，ANGBEKF90，ABEEKFANG（AAS），ABEKAN4，BEKFNG，FMAD，GNAD，GNFM，GNHFMH，GN：FMGH：FH3：1，GNFK3FM，KMKF+FM4FM4，FM1，BEKF3；（3）當點F在矩形ABCD內時，過點F作FMAD于M，交BC于K，過點G作GNAD于N，EKFANGB90，四邊形ABCD是矩形，AB4，BBADCADC90，四邊形ABKM是矩形，KMAB4，四邊形AEFG是正方形，EAGAEF

9、AGF90，AGAEEF，GAN+DAEBAE+DAE90，AEB+CEFAEB+BAE90，BAECEFGAN，ANGBEKF90，ABEEKFANG（AAS），ABEKAN4，BEKFNG，設FMx，則BEKFNG4x，BCa8，CK8BEEK8（4x）4x，FMAD，DMKCADC90，四邊形CDMK是矩形，DMCKx，DMFM，DF2，DMFM，BEKFNG4，FMAD，GNAD，GNFM，GNHFMH，GH：FHGN：FM21；當點F在矩形ABCD外時，過點F作FMAD于M，交BC于K，過點G作GNAD于N，ABEEKFANG（AAS），ABEKAN4，BEKFNG，設FMx，則BE

10、KFNG4+x，BCa8，CKBE+EKBC4+x+48x，FMAD，DMCCCKMDC90，四邊形CDMK是矩形，DMCKx，DMFM，DF2，DMFM，BEKFNG4+，FMAD，GNAD，GNFM，GNHFMH，GH：FHGN：FM2+1綜上，GH：FH的值為21或2+16【解答】（1）證明：如圖1，過點作于點，；（2）證明：，；（3）解：如圖3，作交延長線于點，連接，是等腰直角三角形，由（2）知，平行四邊形，設，在中，解得，7【解答】（1）證明：四邊形是正方形，旋轉正方形到正方形，在和中，；（2）解：時，理由是：，在和中，；，；（3）解：在旋轉過程中四邊形能為矩形，四邊形是正方形，四邊

11、形是矩形，設，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，的坐標是8【解答】（1）解點是正方形對角線的交點，是以為斜邊的等腰直角三角形，即解得：（2）證明：如圖，延長交于點，是的中點，四邊形是正方形，在和中，9【解答】（1）解：在正方形ABCD中，AB8，AOCOOB4，BE2，OE2，ACBD，COE90，CE2，由旋轉得：CECF，ECF90，CEF的面積（2）210；（2）證明：如圖2，過E作ENAB于N，作EPBC于P，EPBC，FMCD，EPCFMC90，BCDECF90，PCEMCF，CECF，CPECMF（AAS），EPFM，EPBC，ENAB，BE平分ABC，EPEN，ENFM，FM

12、CD，FMGENH90，ABCD，NHEMGF，NHEMGF（AAS），NHMG，BH+MGBH+NHBN，BEN是等腰直角三角形，BNBE，BH+MGBE；（3）解：BHMGBE，理由是：如圖3，過E作ENAB于N，交CG于P，EPBC，FMCD，ABCD，EPCD，EPCFMC90，MECF90，ECP+FCMFCM+CFM90，ECPCFM，CECF，CPEFMC（AAS），PCFM，DPE是等腰直角三角形，PEPD，ENBNPN+PEBC+PECD+PDPCFM，ABCD，HFGM，ENHM90，HNEGMF（AAS），NHMG，BHMGBHNHBN，BEN是等腰直角三角形，BNBE，BHMGBE10【解答】（1）解：，是正方形的對角線，是的角平分線，在中，；（2）證明：如圖2，設與軸交于點四邊形是正方形，由（1）知，是正方形的對角線，是等邊三角形，在和中，；（3）解：如圖3，過點作于，延長交軸于，是的平分線，點與點關于對稱，連接交于，過點作于，交于，則此時最小是邊長為6的正方形的對角線，由作圖知，由（2）易知，在中，即的最小值為31